Konsep Perbandingan-perbandingan Trigonometri

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar belakang

B.     Tujuan

·         Memahami Konsep Perbandingan-perbandingan Trigonometri

C.    RumusanMasalah

·        Mengenal Perbandingan-perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku

·        Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri utnuk Sudut Khusus

·        Mengenal Cara Menggunakan Kalkulator untuk Menentukan Nilai Pendekatan Perbandingan Trigonometri dan Besar Sudutnya

·        Menentukan Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Di Semua Kuadran

·        Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri yang Lain Jika Salah Satunya Diketahui

D.    ManfaatPenulisan

·         BagimahasiswakhususnyamahasiswamatematikadapatdijadikansebagaipeganganmateriuntukmatakuliahKajianMatematika SMA

·         Bagipara guru dapatdijadikansebagaibahan ajar untukmateriPerbandingan-Perbandingan Trigonometri

BAB II

PEMBAHASAN

PERBANDINGAN – PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A.  Perbandingan – perbandingan Trigonometri dalam Segitiga siku – siku

Perhatikan segitiga siku-siku ABC dengan titik sudut siku-siku di C pada gambar 1. Panjang sisi (dalam satuan panjang) di hadapan sudut A adalah  a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi dihadapan sudut C adalah c.

                              

Dari tiga besaran panjang sisi segitiga siku-siku ABC tersebut (yaitu a, b, c), dapat ditemukan enam buah perbandingan, yang disebut sebagai perbandingan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.

Definisi : Perbandingan Triginometri pada segitiga siku-siku

a)     

b)    

c)     

d)    

e)     

f)      

Berdasarkan definisi, dapat diturunkan hubungan-hubungan matematika yang disebut sebagai rumus kebalikan dan rumus perbandingan sebagai berikut

1.    Rumus Kebalikan

a)     

b)    

c)     

d)    

e)     

f)      

2.    Rumus Perbandingan

a)     

b)    

Contoh 1

Segitiga siku-siku ABC mempunyai panjang sisi  dan  (perhatikan gambar 1)     

Gambar 1

Carilah nilai dari keenam perbandingan trigonometri untuk sudut .

Jawab :

Nilai c dihitung terlebih dahulu dengan memakai teorema pythagoras :

Jadi, nilai-nilai perbandingan trigonometrinya adalah :

Contoh 2

Pada gambar 2 dibawah ini,

Gambar 2

 siku-siku di C dan  siku-siku di E. Dengan menggunakan sifat kesebangunan tunjukan bahwa :

a)     

b)     

c)     

Jawab :

Berdasarkan Gambar 2 tampak bahwa  sebangun dengan , akibatnya

·        

·        

·        

Berdasrkan definisi perbandingan trigonometri :

Dengan demikian, terbukti bahwa :

a)     

b)     

c)     

Contoh 2 menunjukan bahwa perbandingan trigonometri suatu sudut pada sebuah segitiga siku-siku tidak bergantung pada panjang sisi-sisi segitiga, tetapi bergantung pada besar sudut.

Contoh 3

Diketahui  sudut lancip  Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut  yang lain.

Jawab :

Gambarlah segitiga siku-siku ABC sehingga nilai perbandingan trigonometri  (Perhatikan Gambar 3).

Gambar 3

Nilai b dicari dengan memakai teorema pythagoras :

Jadi, nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut  yang lain adalah :

;

 ;

B.  Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Khusus

Sudut Khusus (sering pula disebut sebagai sudut istimewa) adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut khusus yang dimaksud adalah sudut-sudut yang besarnya . Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut khusus ini dapat di tentukan dengan menggunakan konsep lingkaran satuan.

Lingkaran Satuan

Perhatikan gambar 4.

Gambar 4

Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri, diperoleh hubungan :

 dengan catatan

Dengan demikian, dalam lingkaran satuan itu koordinat titik P(x,y) dapat dinyatakan sebagai

1.    Nilai Perbandingan Trigonometri untuk sudut

Perhatikan Gambar 5.

Koordinat titk P adalah (1,0), sehingga (1,0) = dengan demikian, diperoleh :

, dan

2.    Nilai Perbandingan Trigonometri untuk sudut

Jika  maka  perhatikan gambar 6

Gambar 6

Akibatnya  merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi . Karena  sama dan sebangun dengan  maka  atau ordinat . Segitiga  siku-siku di , dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan :

       

        ²

       

 menyatakan absis titik P atau

Untuk maka koordinat titik P adalah  sehingga di peroleh :

 dan

3.    Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut

Jika , maka  merupakan segitiga siku-siku di  dan sama kaki dengan  (Perhatikan gambar 7)

Gambar 7

Dengan menerapkan Teorema Pythagoras pada  diperoleh :

       

       

       

       

Karena

Untuk  maka koordinat titik P adalah , sehingga diperoleh :

 dan

4.    Nilai Perbandingan Trigonometri untuk sudut

Jika sudut  merupakan segitiga sama sisi dengan OP = OQ = PQ = 1 (Perhatikan gambar 8)

Gambar 8

Karena  sama dan sebangun dengan  maka  sehingga absis . Dengan menerapkan Teorema Pythagoras pada  dapat ditunjukan bahwa . Untuk sudut  maka koordinat titik P adalah  sehingga

Dengan demikian, diperoleh :

, dan

5.    Nilai Perbandingan Trigonometri untuk sudut

Jika sudut  maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu Y positif atau titik P berada pada sumbu Y positif sebagaimana diperlihatkan pada gambar 9

Gambar 9

Koordinat titik P adalah (0,1) sehingga (0,1) =

Dengan demikian diperoleh :

, dan

Nilai-nilai perbandingan trigonometri kotangen, sekan, dan kosekan untuk sudut sudut khusus dapat ditentukan dengan menggunakan hasil-hasil yang telah dibahas dan dengan menggunakan rumus-rumus kebalikan

a)   

b)  

c)   

d)   dan seterusnya

Nilai-nilai perbandingan trigonometri sinus, kosinus, tangen , kotangen, sekan dan  cosecan untuk sudut-sudut khusus (sudut-sudut yang besarnya  biasanya disajikan dalam bentuk rangkuman sebagaimana diperlihatkan pada tabel berikut ini

Nilai-nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Khusus

	Besar sudut
	0o	30o	45o	60o	90o
	0				1
	1				0
	0		1		-
	-		1		0
	1			2	-
	-	2			1

Agar lebih memahami dan terampil dalam perhitungan teknis yang melibatkan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut khusus, simaklah beberapa contoh berikut

Contoh 8

Hitunglah

Jawab :

                                                                    

                                                           

Jadi,

Contoh 9

Tunjukan bahwa

a)     

b)     

Jawab :

a)   

     Jadi, terbukti bahwa

b)   Bagian ruas kiri :

Bagian ruas kanan :

Ruas kiri = ruas kanan

     Jadi, terbukti bahwa

C.  Menggunakan Kalkulator untuk Menentukan Nilai Pendekatan Perbandingan Trigonometri dan Besar Sudutnya

Sebagai ilustrasi, misalnya akan ditentukan nilai pendekatan dari sin 19^o. Pertama-tama harus dipastikan bahwa kalkulator dalam posisi ‘ON’ dan mode ukuran sudut di atur dalam posisi ‘DEG’ yang berarti DEGREE atau dalam ukuran derajat. Kemudian langkah-langkah selanjutnya dikerjakan sebagai berikut :

1.    Tekan tombol bilangan : 1 dan 9

Pada layar kalkulator muncul bilangan 19

2.    Tekan tombol fungsi : sin

Pada layar kalkulator muncul 0,325568154

Jadi, nilai pendekatan dari sin 19^o = 0,325568154 teliti sampai 9 tempat desimal. Nilai pendekatan sin 19^o ini dapat dibulatkan sampai beberapa tempat desimal yang diinginkan, misalnya :

·         Sin 19^o = 0,325568 (teliti sampai 6 tempat desimal)

·         Sin 19^o = 0,32557 (teliti sampai 5 temapt desimal)

Selain itu, kalkulator ilmiah juga dapat digunakan untuk menentukan besarnya suatu sudut apabila perbandingan trigonometri sudut itu telah diketahui. Misalnya akan ditentukan besarnya sudut  Dengan menggunakan kalkulator, besar sudut  dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut :

1.    Tekan tombol bilangan : 0 . 4 5 8

Pada layar akan muncul bilangan 0,458

2.    Tekan tombol fungsi : INV COS

Pada layar kalkulator muncul bilangan 62.74187373

Jadi, jika  maka nilai pendekatan untuk besarnya sudut  teliti sampai 8 tempat desimal. Nilai pendekatan untuk besarnya sudut  itu dapat pula dibulatkan sampai beberapa tempat desimal yang diinginkan, misalnya :

·          (teliti sampai 4 tempat desimal)

·          (teliti sampai 1 tempat desimal)

D.  PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT DI SEMUA KUADRAN

Dalam pasal ini akan dipelajari perbandingan-perbandingan trigonometri untuk sudut sudut yang terletak disemua kuadran, yaitu sudut-sudut yang besarnya antar 0^o sampai dengan 360^o. Sudut-sudut ini dikelompokan menjadi 4 wilayah atau kuadran didasarkan pada besarnya sudut yaitu :

1.    Sudut-sudut yang terletak di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 0^o sampai 90^o atau ²

2.    Sudut-sudut yang terletak di kuadran II, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 90^o sampai 180^o atau 9 ²

3.    Sudut-sudut yang terletak di kuadran III, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 180^o sampai 270^o atau 18 ²

4.    Sudut-sudut yang terletak di kuadran IV, yaitu sudut-sudut yang besarnya antar 270^o sampai 360^o atau 27 ²

Pada gambar 10

Gambar 10

Ditampilkan sebuah sistem koordinat Cartesius. Ruas garis OA dapat diputar atau dirotasi terhadap titik asal O, sehingga besar < XOA dapat berubah dari 0^o sampai dengan 360^o. Untuk < XOA =  , maka ruas garis OA berada pada posisi tertentu. Dengan demikian pada ruas garis OA dapat ditempatkan sebarang titik P dengan koordinat (x,y). Absis x, ordinat y, dan jarak r = OP memenuhi hubungan yang berlaku dalam Teorema Pythagoras, yaitu

Oleh karena r menyatakan jarak dari titik O ke titik P maka tanda dari r selalu positif (r > 0)

Berdasarkan Gambar 10, perbandingan-perbandingan trigonometri dapat didefinisikan kembali dengan menggunakan variabel-variabel absis x, ordinat y, dan jarak sebagai berikut :

Definisi : Perbandingan Trigonometri Berdasarkan Tinjauan Geometri Analitis

a)  

b)  

c)   

d)  

e)   

f)   

Tanda – Tanda Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran

1.    Untuk ^o di kuadran I (Gambar 11a)

Absis x positif dan ordinat y positif

2.    Untuk ^o di kuadran II (Gambar 11b)

Absis x negatif dan ordinat y positif

3.    Untuk ^o di kuadran III (Gambar 11c)

Absis x negatif dan ordinat y negatif

4.    Untuk ^o di kuadran IV (Gambar 11d)

Absis x positif dan ordinat y negatif

Hasil-hasil tersebut dapat disajikan dengan memakai bagan seperti pada gambar 12

Cara lain untuk menyajikan tanda-tanda perbandingan trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran adalah dengan menggunakan tabel berikut ini

Tanda-tanda Perbandingan Trigonometri

Perbandingan Trigonometri	Sudut-sudut di kuadran
	I	II	III	IV
sin	+	+	-	-
cos	+	-	-	+
tan	+	-	+	-
cot	+	-	+	-
sec	+	-	-	+
cosec	+	+	-	-

Contoh 10

Pada gambar 13

Koordinat titik Q(-12,5)

a)    Hitunglah panjang r atau QQ

b)   Jika besar < XOQ = , hitunglah sin , cos , tan , cot , sec , dan cosec

Jawab :

a)   

b)  

Contoh 11

Diantara setiap perbandingan trigonometri berikut ini, manakah yang bertanda positif dan manakh yang bertanda negatif ?

a.       Sin 105^o

b.      Cos 236^o

c.       Tan 98^o

d.      Cot 87^o

e.       Sec 144^o

f.       Cosec 80^o

Jawab :

a.       Sin 105^o bertanda positif, sebab 105^o sudut di kuadran II

b.      Cos 236^o bertanda negatif, sebab 236^o sudut di kuadran III

c.       Tan 98^o bertanda negatif, sebab 98^o sudut di kuadran II

d.      Cot 87^o bertanda positif, sebab 87^o sudut di kuadran I

e.       Sec 144^o bertanda negatif, sebab 144^o sudut di kuadran II

f.       Cosec 80^o bertanda positif, sebab 80^o sudut di kuadran I

E.  Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri yang Lain Jika Salah Satunya Diketahui

Jika diketahui nilai perbandingan trigonometri suatu sudut tertentu (sudut itu bukan sudut istimewa dan bukan sudut batas kuadran), maka nilai-nilai perbandingan trigonometri yang lainnya dapat ditentukan. Langkah penting yang dilakukan adalah membuat sketsa gambar pada bidang Cartesius yang menunjukan nilai perbandingan trigonometri yang telah diketahui. Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh berikut

Contoh 12

Diketahui  sudut di kuadran IV

Gambar 14

Hitunglah :

a.      

b.     

c.      

d.     

e.      

Jawab :

Berdasarkan data pada soal, sudut  dapat di gambar seperti pada gambar 14

, maka y = -5 dan x = 12

Dari gambar 14 di peroleh :

a.   

b.   

c.   

d.  

e.   

                                                   

                                                           

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

B.     Saran

Dalam pembuatan makalah ini penulis menyadari masih terdapat banyak kekurangan untuk itu saran yang membangun dari pembaca sangat penulis harapkan demi sempurnanya makalah ini kedepan..

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo Sartono.2006.Matematika Untuk SMA.Jakarta: Erlangga.