Makalah Ukuran Penyebaran Data (Darman)

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar belakang

Ukuran penyebaran data merupakan salah satu materi statistika yang didalamnya dibahas tentang sejauh mana data itu menyebar dari nilai rata-rata dalam data. Sebenarnya materi ini cukup mudah untuk kta pahami namun dalam menentukan nilai-nilai dari setiap komponen yang termasuk dalam ukuran penyebaran data seringkali kita beleum mampu memhami ataupun kita keliru dalam mentukan nilai-nilai dari komponen-komponen tersebut.

B.     Tujuan

·         Memahami materi ukuran penyebaran data serta mampu menentukan nilai-nilai dari komponen ukuran penebaran data.

C.    Rumusan Masalah

·        Bagaiman kita memahami seperti apa  ukuran penyebaran data ?

·        Apa saja yang termasuk dalam ukuran penyebaran data ?

·        Bagaimana kita menentukan nilai-nilai dari komponen ukuran penyebaran data ?

D.    Manfaat Penulisan

·         Untuk dijadikan pegangan dalam pembelajaran statistika khususnya dalam materi ukuran penyebaran data

BAB II

PEMBAHASAN

A. Ukuran Penyebaran Data

Dengan menentukan pemusatan data dan ukuran letak data ternyata belum cukup untuk memberikan gambaran yang jelas dari suatu data. Mengapa demikian? Untuk mengetahuinya, simaklah permasalahan berikut dengan cermat! Dinas pertanian menyarankan penggunaan pupuk jenis baru dengan merk A dan B agar dapat meningkatkan hasil panen jagung. Setelah dilakukan uji coba pada 8 petak lahan yang sama, hasil panen jagung disajikan dalam tabel berikut.

Tabel 1.Data hasil panen jagung dalam ton

Pupuk A	8	8	6	5	4	9	5	7
Pupuk B	6	6	7	7	8	7	6	5

                      

Dari data tabel diatas  rata–rata hasil panen dengan pupuk A dan pupuk B  sama, yaitu 6,5 ton. Namun, apabila data tersebut digunakan untuk mengukur kualitas pupuk setiap lahan. Apakah kualitas pupuk A akan sama dengan pupuk B? Belum tentu. Coba Anda perhatikan tabel 1.20, hasil panen pupuk B memiliki rentang yang lebih kecil dari pupuk A, yaitu 5 sampai 8. Jadi, dengan menggunakan pupuk B, hasil panen setiap petak lebih seimbang. Dengan demikian, untuk memberikan gambaran suatu data yang lebih lengkap diperlukan suatu ukuran, yaitu ukuran penyebaran data.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

Ukuran penyebaran data adalah ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data suatu menyebar dari rata–ratanya.

Beberapa ukuran penyebaran sebagai berikut.

1. Jangkauan

 sering disebut range atau rentang. Jangkauan dari suatu data didefinisikan sebagai selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Untuk memahaminya, perhatikan contoh di bawah ini!

Contoh 1

Data terurut dari banyaknya buku pelajaran yang dimiliki 9 siswa yaitu:

4,     5,    6,    6,    7,    7,    7,    8,    9

 

Jangkauan data di atas adalah R = x_maks – x _{min =}  x₉ – x₁  =  9 – 4 = 5

Dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan jangkauan suatu

kumpulan data tunggal dapat menggunakan persamaan:

kumpulan data tunggal dapat menggunakan persamaan:

                             

                                  R = x_maks – x_min

Keterangan:

R      =   jangkauan/range/rentang

X_maks  =   data terbesar

X_min    =   data terkecil

Jangkauan data berkelompok merupakan selisih antara nilai tengah kelas terakhir dengan nilai tengah kelas pertama.

                            

Perhatikan tabel  berikut ini!

            Tabel 2 Data umur peserta sertifikasi guru

Umur	Titik Tenga	Frekuensi
30-34	32	5
35-39	37	35
40-44	42	100
45-49	47	50
50-54	52	10

Tabel 2 menunjukkan data umur peserta yang mengikuti diklat sertifikasi guru yang berjumlah 200 orang.

Bila nilai tengah kelas pertama adalah 32 dan nilai tengah kelas terakhir adalah 52, maka

R = 52 – 32

   = 20

Jadi, jangkauan data dari tabel 2 adalah 20. Dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan jangkauan data berkelompok digunakan persamaan:

R = x_maks – x_min

R      =   jangkauan/range/rentang

X_maks  =  nilai tengah kelas terakhir

X_min    =  nilai tengah kelas pertama

2. Jangkauan Antarkuartil

Jangkauan antarkuartil juga disebut hamparan. Bagaimana cara menentukan jangkauan antarkuartil ? Perhatikan contoh pada subbab jangkauan untuk data tunggal. Diperoleh nilai kuartil pertama Q₁ = 5,5 dan kuartil ketiga Q₃ = 7,5.

Jadi, jangkauan antarkuartilnya adalah H = 7,5 – 5,5 = 2.

Dapat disimpulkan bahwa:

Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama.

Untuk menentukan jangkauan antarkuartil, dapat digunakan persamaan:

                                H = Q₃ – Q₁

Keterangan:

H = jangkauan antarkuartil (hamparan)

Q₃ = kuartil ketiga

Q₁ = kuartil pertama

3. Jangkauan semi antarkuartil

Jangkauan semi antarkuartil juga disebut simpangan kuartil. Apa hubungan antara jangkauan semi antarkuartil dengan jangkauan antarkuartil? Untuk mengetahuinya, perhatikan contoh 1.7. Diperoleh nilai jangkauan antarkuartil H = 2, nilai jangkauan semi antarkuartilnya adalah

Dapat disimpulkan bahwa:

Jangkauan semi antarkuartil adalah nilai dari setengah kali jangkauan antarkuartil.

Pengertian di atas dapat dinyatakan dalam persamaan:

Keterangan:

Q_d  =  jangkauan semi antarkuartil

H  =  jangkauan antarkuartil (hamparan)

4. Langkah

Apabila nilai jangkauan antarkuartilnya dikalikan satu setengah, maka

diperoleh langkah sebesar:

L = 1

Untuk Contoh 1 Nilai L =   = 3

Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

Langkah adalah nilai dari satusetengah dikalikan jangkauan antarkuartil.

Pengertian tersebut dapat ditunjukkan dengan persamaan:

L = 1  =  

5. Pagar Dalam dan Pagar Luar

Untuk menentukan pagar dalam dan pagar luar, coba Anda lihat kembali hasil pada contoh sebelumnya. Apakah ada hubungannya?

Bila diperoleh, pagar dalam = Q₁ – L = 5,5 – 3 = 2,5 pagar luar = Q₃ + L = 7,5 + 3 = 10,5 Dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan pagar dalam dan luar digunakan persamaan:

Pagar dalam = Q₁ – L

Pagar luar = Q₃ + L

Sehingga dapat didefinisikan:

Pagar dalam adalah nilai data yang berada satu langkah di bawah kuartil pertama.

Pagar luar adalah nilai data yang berada satu langkah di atas kuarti ketiga.

Pagar dalam dan pagar luar berfungsi sebagai batas penentu normal atau tidaknya suatu data.

Data xi  dikatakan normal apabila nilai data yang satu dengan nilai data yang lain tidak jauh berbeda dan terletak di antara batas–batas pagar dalam dan pagar luar.

Data xi dikatakan tidak normal apabila nilai data tersebut tidak konsisten dalam kelompoknya, dan terletak kurang dari pagar dalam dan lebih dari pagar luar.

Data yang tidak konsisten dalam kelompoknya disebut pancilan atau data liar. Pencilan pada suatu kumpulan data menimbulkan kecurigaan sehingga pencilan itu perlu dikaji secara seksama. Apa yang menjadi penyebabnya? Munculnya data pencilan dalam suatu kumpulan data dapat terjadi akibat kesalahan ketika mencatat data dan juga kesalahan ketika melakukan pengukuran.

6. Statistik Lima Serangkai

Nilai–nilai statistik seperti jangkauan, jangkauan antarkuartil, jangkauan semi antarkuartil, langkah, pagar dalam, dan pagar luar akan lebih mudah ditentukan apabila kumpulan data disajikan dengan menggunakan statistik lima serangkai dalam bentuk bagan.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh 2

Diketahui data 31, 32, 27, 28, 29, 36, 35, 32, 34, tentukanlah:

a. Statistik lima serangkai

b. Jangkauan

c. Jangkauan antarkuartil

d. Jangkauan semi antarkuartil

e. Langkah

f. Pagar dalam dan pagar luar

g. Jika terdapat nilai 10 dan 50, apakah kedua nilai data tersebut konsisten

dalam kumpulan data yang sudah diketahui?

Jawab:

a. Statistik lima serangkai

* Urutkan data dari data yang terkecil hingga yang terbesar membentuk statistik jajaran, sebagai berikut:

27,  28,   29,  31,   32,   32,   34,   35,  36,  37,   38

 

Tentukan kuartil dengan mencari letak Q₁, Q₂, dan Q₃.

Letak Q₁ =   = data ke–3, yaitu Q₁ =  = 29

Letak Q₂ =   = data ke–6, yaitu Q₂ =  = 32

Letak Q₃ =   = data ke–9, yaitu Q₃ = x₉ = 36

Jadi, statistik lima serangkai dapat disajikan pada tabel berikut.

xmin = 27	Xmax = 38

b. Jangkauan

R = x_maks – x_min

= 38 – 27

= 11

Jadi, jangkauan dari data adalah 11.

c. Jangkauan antarkuartil

H = Q₃ – Q₁

= 36 – 29

= 7

Jadi, jangkauan antarkuartil dari data adalah 7.

d. Jangkauan semi antarkuartil,

     =  3,5

Jadi, jangkauan semi antarkuartil dari data adalah 3,5.

e. Langkah, L = 1,5 H

                       = 1,5 ×7

                       = 10,5

Jadi, langkah dari data adalah 10,5.

f. Pagar dalam = Q₁ – L

                         = 29 – 10,5

                         = 18,5

    Pagar luar = Q₃ + L

                     = 36,5 + 10,5

                     = 46,5

Jadi, pagar dalam dari data 18,5 dan pagar luar 46,5.

g. Karena 10 lebih kecil dari pagar dalam dan 50 lebih besar dari pagar luar, nilai data 10 dan 50 tidak konsisten terhadap kumpulan data pada soal tersebut.

Menetukan  Nilai statistik Lima  Serangkai dalam tabel distribusi frekuensi

7. Simpangan Rata–Rata

Pada subbab terdahulu, Anda telah mempelajari nilai mean atau rata– rata hitung dari kumpulan data. Bagaimanakah hubungan ukuran penyebaran data terhadap rata–rata data tersebut? Untuk mengetahuinya, marilah kita simak contoh 3 berikut ini.

Diketahui hasil dari pengukuran adalah 3, 4, 5, 6, 8, 9. Penyebaran nilai data terhadap rata–ratanya dapat ditentukan dengan langkah– langkah berikut.

a. Sebelumnya, Anda menentukan terlebih dahulu nilai rata–rata dari

data dengan n = 5, yaitu:

=  6                           

b. Tuangkan data-data tersebut dalam tabel.

                     Tabel 3

3	-3	3
4	-2	2
6	0	0
8	2	2
9	3	3

c. Selanjutnya dari tabel tersebut, simpangan rata–rata data dapat diperoleh dengan persamaan:

Jadi, simpangan rata–rata data tersebut adalah 2. Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Simpangan rata–rata atau deviasi rata–rata adalah ukuran yang menyatakan seberapa besar penyebaran tiap nilai data terhadap nilai meannya (rata–ratanya).

Bila diketahui data tunggal ,  , , ...,  dengan rata–rata  maka simpangan dari   adalah  , simpangan dari  adalah  , dan seterusnya sehingga diperoleh jumlah nilai mutlak simpangan, yaitu:

Simpangan rata–rata dapat didefinisikan sebagai:

Keterangan :

SR = simpangan rata-rata

n =banyaknya data

= data ke-i

i= 1, 2, 3, …,n

 = mean

Untuk data dari tabel distribusi frekuensi, simpangan rata–rata dapat ditentukan dengan persamaan:

Keterangan :

SR = simpangan rata-rata

 = frekuensi data ke-i

n =banyaknya data

= data ke-i

i= 1, 2, 3, …,n

 = mean

Untuk memahaminya perhatikan contoh berikut ini!

Contoh 4

Data pengukuran berat masing–masing barang elektronik bila akan ditentukan simpangan rata–ratanya, maka tabel menjadi:

Tabel 4 Berat barang elektronik dalam (kg)

Berat(kg)	Titik tenga	frekuensi
11-15	13	1	13	-16	16
16-20	18	4	72	-11	11
21-25	23	8	184	-6	6
26-30	28	10	280	-1	1
31-35	33	9	297	4	4
36-40	38	6	228	9	9
41-45	43	2	86	14	14
Jumlah	-	40	1160		236

Maka diperoleh

     = 5,9

Jadi, simpangan rata–rata data pada tabel 4 adalah 5,9.

8. Variansi dan Simpangan Baku

Ukuran penyebaran data yang paling sering digunakan adalah variansi (ragam) dan simpangan baku (standar deviasi). Ragam dan simpangan baku menjelaskan penyebaran data di sekitar rataan. Pada bagian ini, kita hanya akan membahas cara menghitung dan mendapatkan ragam dan simpangan baku dari suatu data, sedangkan kegunaannya belum akan dipelajari pada bab ini.

a. Variansi (Ragam)

Coba Anda ingat kembali cara menentukan nilai mean atau rata– rata hitung dari suatu data. Mean atau rata–rata hitung mewakili suatu data sehingga dalam pengamatan diharapkan nilai data lebih kecil dari nilai rata–rata.

Untuk memahaminya, perhatikan nilai–nilai berikut: 1, 4, 8, 10, 12. Rata–rata data tersebut (  ) adalah 7 dan simpangan dari masing– masing data (  –   ) adalah –6, –3, 1, 3, 5. Bila Anda perhatikan, jumlah dari simpangan di atas adalah nol.

Misalnya, kumpulan data , , ...,  mempunyai rata–rata  , maka simpangan masing–masing data dari rata–ratanya adalah (  ), ( ),

..., ( ). Jumlah dari semua simpangan :

Harus sama dengan nol. Untuk mengatasi hal itu, diperlukan suatu ukuran penyebaran, yaitu variansi (ragam). Variansi didasarkan pada jumlah kuadrat dari simpangan, didefinisikan sebagai:

Variansi (ragam) adalah rata–rata dari jumlah kuadrat simpangan tiap data.

Persamaan berikut digunakan untuk menentukan besarnya variansi (ragam).

Keterangan :

 = variansi/ragam

                                         

Maka, nilai variansi/ragam dari data pada contoh di atas adalah:

Jadi, variansi dari data adalah 16.

Untuk data berkelompok atau data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, variansi atau ragam dapat dinyatakan dengan persamaan:

Untuk memahami penggunaannya, perhatikan contoh berikut ini! Dari data pada tabel 5 diperoleh data mengenai berat barang elektronik. Variansi/ragam dari data tersebut dapat ditentukan, yaitu dengan mengkuadratkan simpangannya. Bila rata–rata data  = 29,

maka:

Tabel 5 Berat barang elektronik dalam (kg)

Berat(kg)	Titik tenga )	frekuensi
11-15	13	1	-16	256	256
16-20	18	4	-11	121	484
21-25	23	8	-6	36	283
26-30	28	10	-1	1	10
31-35	33	9	4	16	144
36-40	38	6	9	81	486
41-45	43	2	14	196	392
Jumlah	-	40	-	-	2060

Maka diperoleh:

Jadi, variansi atau ragam data pada tabel adalah 51,5.

b. Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Untuk mengatasi kesulitan menafsirkan ukuran penyebaran data yang dinyatakan dalam satuan kuadrat yaitu variansi (ragam), digunakan suatu ukuran yang disebut simpangan baku atau standar deviasi. Simpangan baku mengukur penyebaran data dengan satuan yang sama dengan satuan data.

Bila satuan kuadrat merupakan bentuk variansi atau ragam, apa hubungan variansi dengan simpangan baku? Untuk mengetahuinya, simaklah contoh berikut ini.

Data dari tabel 5 diperoleh nilai variansi atau ragam, yaitu:

 simpangan bakunya adalah:

s    =           

     =

     = 7,18

Jadi, nilai simpangan bakunya adalah 7,18.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

Simpangan baku atau standar deviasi adalah nilai akar dari variansi atau ragam.

Simpangan baku/standar deviasi dapat dihitung dengan persamaan:

1) Untuk data tunggal

2) Untuk data berkelompok

dengan s = simpangan baku/standar deviasi

              = ragam/variansi

BAB III

PENUTUP

A.KESIMPULAN

1.       Ukuran penyebaran data adalah ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data suatu menyebar   dari rata–ratanya.

2.       Jangkauan dari suatu data didefinisikan sebagai selisih antara data terbesar dengan data           terkecil.

3.      Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama.

4.      Jangkauan semi antarkuartil adalah nilai dari setengah kali jangkauan antarkuartil.

5.      Langkah adalah nilai dari satusetengah dikalikan jangkauan antarkuartil.

6.      Pagar dalam adalah nilai data yang berada satu langkah di bawah kuartil pertama.

7.      Pagar luar adalah nilai data yang berada satu langkah di atas kuarti ketiga.

8.      Simpangan rata–rata atau deviasi rata–rata adalah ukuran yang menyatakan seberapa besar penyebaran tiap nilai data terhadap nilai meannya (rata–ratanya).

9.      Variansi (ragam) adalah rata–rata dari jumlah kuadrat simpangan tiap data.

10.  Simpangan baku atau standar deviasi adalah nilai akar dari variansi atau ragam.

B.SARAN

Dalam pembuatan makalah ini penulis menyadari masih terdapat banyak kekurangan untuk itu saran yang membangun dari pembaca sangat penulis harapkan demi sempurnanya makalah ini kedepan.

DAFTAR PUSTAKA

BSNP. 2006. Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika untuk SMA. Jakarta: BSNP.

Harinaldi. 2005. Prinsip–Prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta: Erlangga.